辗转相除法、更相减损法、Stein算法

最大公约数和最小公倍数求解，常用的方法是短除法进行因式分解，然后最大公约数是所有公共因子的乘积，最小公倍数是所有因子的乘积。

本质上求最小公倍数就是求最大公倍数：x=m*a， y=m*b；m是最大公约数，那最小公倍数就是m*a*b。所以可以得到最大公约数与最小公倍数的关系：

其中LCM是最小公倍数，GCD是最大公约数

用代码来表示就是：

// LCM:least common multiple
// GCD:greatest common divisor
int LCM(int a, int b) {
	int gcd = GCD(a, b);
	return a * b / gcd;
}

所以重点就是求最大公约数。

常见的求最大公约数的方法有

• 分解因式法
• 辗转相除法
• 更相减损法
• Stein算法

下面文章会对这几个方法进行详细介绍并以C语言实现。

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扩展欧几里得算法是后加进来的，它解决的不单纯是求最大公约数的问题，本不应该放进来。因为本文介绍了欧几里得算法，权衡利弊后也就顺带把扩展欧几里得算法讲一下。

公约数的性质

在介绍算法之前，我们需要先了解一下公约数的几个重要性质，这几个性质在后面几个算法中会用到(用到时再证明，以免数学不感冒的人看的头痛)：

如果b是A和B的公约数，那么：

• b也是A+B的约数，即b是A,B,A+B的公约数
• b也是A-B的约数，即b是A,B,A-B的公约数
• 更一般地，对于任意整数x、y，b也是Ax+By的约数，即b是A,B,Ax+By的公约数
• 根据上一条性质，r = A - kB = A mod B，所以A mod B也是A+B的约数，mod是求余运算，即b是A,B,A mod B的公约数

用式子写出来即：

gcd(A,B) = gcd(B,A) = gcd(A,A+B) = gcd(A,A-B) = gcd(A,Ax+By) = gcd(A,A mod B)

分解因式法

很显然因式分解不是一个好方法，看下面实现代码就知道很耗性能，而且还不能对0处理。

代码：

// greatest common divisor
int GCD(int a, int b) {
    assert(a != 0);
    assert(b != 0);
    int min = a < b ? a : b;
    int accumulate = 1;

    // 以2进行分解，如果0进来这里就死循环了
    while ((a & 1) == 0 && (b & 1) == 0) {
        accumulate *= 2;
        a >>= 1;
        b >>= 1;
    }
    // 以大于等于3的数进行分解
    for (int i = 3; i <= min; i += 2) {
        while ((a % i) == 0 && (b % i) == 0) {
          accumulate *= i;
          a /= i;
          b /= i;
        }
    }
    // 将所有公因子的乘积作为返回值
    return accumulate;
}

虽然暴力法代码冗长，性能低下，但对于后面的几个算法仍具有参考意义。

辗转相除法(欧几里得算法)

定义：

辗转相除法(中国叫法)也叫欧几里得算法(国外叫法)。

该算法定义如下：两个正整数A，B的最大公约数等于其中较小值与两数相除的余数的最大公约数。

写成公式就是：

gcd(A, B) = gcd(B, A mod B)   其中:A > B

证明

不妨设A > B，设A和B的最大公约数为X，所以 A=aX，B=bX，其中a和b都为正整数且a>b。

A除以B的余数： R = A - k*B，其中k为正整数是A除以B的商，所以：

因为a、k、b均为正整数，所以R也能被X整除

即A、B、R的公约数相同，所以有gcd(A，B) = gcd(B，A mod B)

代码：

int GCD(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : GCD(b, a%b);
}

一行代码简洁明了。

将递归化成循环：

int GCD(int a, int b) {
    int r;
    while (b != 0) {
        r = a % b; a = b; b = r;
    }
    return a;
}

更相减损法

定义：

更相减损法原本是为了约分而设计的：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。

1：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。

2：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。

第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数，相当于不要第一步。

换成公式的写法：

如果A > B，则 gcd(A,B) = gcd(B,A-B)
如果A < B，则 gcd(A,B) = gcd(A,B-A)

下面这张图是维基百科中对欧几里得算法的描述，但实际上这张图并没有直接求余数，而是两者相减，和更相减损法如出一辙。

证明：

不妨设A>B，设A和B的最大公约数为X，所以 A=aX，B=bx，其中a和b都为正整数，切a>b。

C = A-B，则有：

因为a和b均为正整数，所以C也能被X整除，即A、B、C最大公约数均为X

所以gcd(A,B) = gcd(B,A-B)

代码实现：

int GCD(int a, int b) {
    while (a != b) {
        if (a > b)
            a = a - b;
        else
            b = b - a;
    }
    return a;
}

辗转相除法与更相减损术的比较

（1）两者都是求最大公因数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。

扩展欧几里得算法

说到欧几里得算法，就不得不谈谈扩展欧几里得算法了。但是需要注意的是它一般用来求解模线性方程(组)，所以该算法不是本文的重点，不感兴趣的可以直接跳过。

模线性方程也叫线性同余方程。形如：3x ≡ 2 (mod 6)

贝祖等式

在这之前先要证明一个等式——贝祖等式：

对于任何整数a、b和他们的最大公约数gcd(a, b)，一定有未知整数x和y满足一下等式：

例如：12和42的最大公约数为6，则方程。事实上有及。

特别地，方程有整数解当且仅当整数a和b互质。

证明

不妨设 a > b，；（其中k为a除以b的商，r为余数）

• b = 0 时，；
• b != 0 时，设；；

由欧几里得算法得：即
化简得：；；
上述表明可由表示，以此递归下去，直到b = 0；可知必有解。

代码：

int ExtendGCD(int a, int b, int *x, int *y) {
	if (b == 0) {
		*x = 1; *y = 0; // b=0
		return a;
	}

	int r = ExtendGCD(b, a%b, x, y);
	int t = *y; // temp
	*y = *x - (a / b)*(*y); // y1 = x2 - k*y2
	*x = t; // x1 = y2
	return r;
}

将递归转化为循环

int ExtendGCD(int a, int b, int *x, int *y)
{
	if (b == 0) { *x = 1; *y = 0; return a; }

	int r = a % b;
	int x0 = 1, x1 = 0; // x1 = y0 = 0
	int y0 = 0, y1 = 1; // y1 = x0 - k*y0 = 1

	while (r != 0)
	{
		*x = x0 - a / b * y0; // x_n = y_{n-1} = x_{n-2} - k*y_{n-2}
		*y = x1 - a / b * y1; // y_n = x_{n-1} - k*y_{n-1}
		x0 = y0;
		x1 = y1;
		y0 = *x;
		y1 = *y;

		a = b; b = r; r = a % b;
	}
	return b;
}

Stein算法

欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，无论从理论还是从实际效率上都是很好的。但是却有一个致命的缺陷，这个缺陷在素数比较小的时候一般是感觉不到的，只有在大素数时才会显现出来：一般实际应用中的整数很少会超过64位（当然现在已经允许128位了），对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，比如说RSA加密算法至少要求500bit密钥长度，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。

Stein算法很好的解决了欧几里德算法中的这个缺陷，Stein算法只有整数的移位和加减法。下面就来说一下Stein算法的原理：

• 若a和b都是偶数，则记录下公约数2，然后都除2（即右移1位）；
• 若其中一个数是偶数，则偶数除2，因为此时2不可能是这两个数的公约数了
• 若两个都是奇数，则a = |a-b|，b = min(a,b)，因为若d是a和b的公约数，那么d也是|a-b|和min(a,b)的公约数。

这里面可能就第三句话难理解一点，这里进行简单的证明：

不妨设奇数A>B，A和B的公约数为X，即A=jX，B=kX，其中j，k均为正整数且j>k。

因为j，k均为整数，所以X也是A-B的公约数。

min(A,B)=B

所以A-B与min(A,B)公约数相同，因为A，B都是奇数，所以A-B必然是偶数，偶数又可以二除移位了。

代码实现：

下面代码中以int作为参数，

int SteinGCD(int a, int b) {
    if (a < b) { int t = a; a = b; b = t; }
    if (b == 0) return a;
    if ((a & 1) == 0 && (b & 1) == 0)
        return SteinGCD(a >> 1, b >> 1) << 1;
    else if ((a & 1) == 0 && (b & 1) != 0)
        return SteinGCD(a >> 1, b);
    else if ((a & 1) != 0 && (b & 1) == 0)
        return SteinGCD(a, b >> 1);
    else
        return SteinGCD(a - b, b);
}

将递归化成循环

int SteinGCD(int a, int b) {
    int acc = 0;
    while ((a & 1) == 0 && (b & 1) == 0) {
        acc++;
        a >>= 1;
        b >>= 1;
    }
    while ((a & 1) == 0) a >>= 1;
    while ((b & 1) == 0) b >>= 1;
    if (a < b) { int t = a; a = b; b = t; }
    while ((a = (a - b) >> 1) != 0) {
        while ((a & 1) == 0) a >>= 1;
        if (a < b) { int t = a; a = b; b = t; }
    }
    return b << acc;
}